Question

При каком значении b прямая y=3x+b является касательной к графику функции y=квадратный корень x-?

Answer 1

Ответ: 1/12

Объяснение:

Пусть (x₀, y₀) -- точка касания прямой y = 3x + b к графику функции y = √x

Тогда y'(x₀) = k (угловой коэффициент касательной)

При этом мы знаем, что k = 3 (так как y = kx + b = 3x + b)

Найдём производную функции:

$y(x)=\sqrt{x}\\ \\ y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим точку x = x₀:

$y'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

Так как y'(x₀) = k = 3, то:

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}}=3\\ \\ 1=6\sqrt{x_0} \\ \\ \sqrt{x_0}=\frac{1}{6} \\ \\ x_0=\frac{1}{36}$

Отметим, что точка (x₀, y₀) принадлежит графику функции y = √x, и прямой y = 3x + b, если подставить координаты точки (x₀, y₀) в эти функции, то получатся верные равенства.

Найдём значение функции в точке x₀:

$y_0=y(x_0)=\sqrt{x_0}=\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}$

Подставим найденную точку в уравнение прямой и найдём b:

$(x_0,y_0)=(\frac{1}{36} ,\frac{1}{6})\\ \\ y=3x+b\\\\ \frac{1}{6}=\frac{3}{36}+b \quad|\cdot 12\\ \\ 2=1+12b\\ \\ b=\frac{1}{12}$