Question

Вычислите площадь области D, заданную системой неравенств. Вычисления проведите в полярной системе координат.

Answer 1

Даны две области:

ниже прямой y = (√3)x и внутри кривой x² + y² = 6x.

Прямая имеет угол наклона, тангенс которого равен √3, то есть(π/3).

Кривую x² + y² = 6x преобразуем с выделением полного квадрата.

(x² - 6x + 9) - 9 +  y², получаем уравнение окружности (x - 3)² + y² = 3².

Искомая площадь - часть круга выше линии у = (√3)х.

В полярной системе координат уравнение вида r = dcos(φ)  задаёт окружность диаметра d  с центром в точке (d/2); 0).

У нас (d/2) равно 3, тогда в полярной системе координат уравнение заданной окружности примет вид  r = 6cos(φ).

Заданная площадь лежит в плоскости круга между радиусами с φ = (πи/3) и (π/2).

Площадь равна интегралу:  $S=\frac{1}{2}\int\limits^{pi/2}_{pi/3} {r^2} \, d(fi) .$

Подставив r = 6cos(φ), находим S = (3π/2) - (9√3)/4 ≈ 0,8153.