Question

Вычислите двойной интеграл по области D.

Answer 1

Область интегрирования смотрите на фото. Разобъем данную область прямой y = 0 и будем считать как сумму двух интегралов

$\displaystyle \iint\limits_D (3x+y+2)dxdy=\int\limits^0_{-1}dy\int\limits^{1}_{y^2}(3x+y+2)dx+\int\limits^{2}_{0}dy\int\limits^1_{\frac{y}{2}}(3x+y+2)dx=\\ \\ \\ =\int\limits^0_{-1}\left(xy+\dfrac{3x^2}{2}+2x\right)\bigg|^1_{y^2}dy+\int\limits^2_0\left(xy+\dfrac{3x^2}{2}+2x\right)\bigg|^1_{\frac{y}{2}}dy=\\ \\ \\ =\int\limits^0_{-1}\left(-\dfrac{3y^4}{2}-y^3-2y^2+y+\dfrac{7}{y}\right)dy+\int\limits^2_0\left(\dfrac{7}{2}-\dfrac{7y^2}{8}\right)dy=$

$=\displaystyle \left(-\dfrac{7y^5}{10}-\dfrac{y^4}{4}-\dfrac{2y^3}{3}+\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{7y}{2}\right)\bigg|^0_{-1}+\left(\dfrac{7y}{2}-\dfrac{7y^3}{24}\right)\bigg|^2_0=\\ \\ \\ =\dfrac{137}{60}+\dfrac{14}{3}=6{,}95$