Question

найти дисперсию случайной величины заданной функцией распределения

Answer 1

$F(x)=\left\{\begin{array}{lll}0\; ,\; \. esli\; \; x\leq 0\; ,\\\frac{x}{2}\; ,\; esli\; \; 0<x\leq 2\; ,\\1\; ,\; \; esli\; \; x>2\; .\end{array}\right\\\\f(x)=F'(x)=\left\{\begin{array}{lll}0\; ,\; \; esli\; \; x\leq 0\; ,\\\frac{1}{2}\; ,\; \; esli\; \; 0<x\leq 2\; ,\\0\; ,\; esli\; \; x>2\; .\end{array}\right\\\\\\M(X)=\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, x\cdot f(x)\, dx=\int\limits^2_0\, \frac{1}{2}\, x\, dx=\frac{x^2}{4}\Big|_0^2=\frac{4}{4}-0=1$

$D(X)=\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, x^2\, f(x)\,dx-\Big(M(X)\Big)^2=\int\limits^2_0\, x^2\cdot \frac{1}{2}\, dx-1^2=\\\\=\frac{x^3}{6}\Big|_0^2-1=\frac{8}{6}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$