Question

Алгебра.
2.Решите в целых числах уравнение: x^2 + 1974 = y^2 или докажите, что уравнение целых решений не имеет.

Точный ответ пожалуйста)​

Answer 1

Решение:

Понятно, что если $x$ - целое число, то оно может быть либо четным, либо нечетным. Рассмотрим оба случая.

1). $x$ - четное число. Тогда $y$ - тоже четное.

Теперь пусть $x=2a$ и $y=2b$ (причем $a , \; b \; \in \; \mathbb{Z}$).

Подставляем:

$(2a)^2+1974 = (2b)^2\\4a^2+(4 \cdot 493 + 2) = 4b^2\\4(b^2-a^2)=4 \cdot 493 + 2$

Получается, что левая часть делится на $4$, а правая - нет. Противоречие. Следовательно, такой случай невозможен.

2). Теперь пусть $x$ - нечетное. Тогда $y$ такой же четности.

Опять же, $x=2a+1$ и $y=2b+1$.

При подстановке получаем:

$(2a+1)^2+1974=(2b+1)^2\\4a^2+4a+1+(4 \cdot 493+2)=4b^2+4b+1\\4(b^2+b-a^2-a)=4 \cdot 493+2$

Тот же самый парадокс - левая часть делится на $4$, а првая - нет.

Как видим, ни тот, ни другой случай не имеют места быть. Следовательно, у уравнения нет целых решений.

Задача решена!

Ответ:  ∅.