Question

Стержень АВ единичной длины разломан в двух наудачу выбранных точках Х и У. С какой вероятностью расстояние между этими точками не превзойдет длины ВУ?

Answer 1

Ответ:

0.75

Пошаговое объяснение:

начертим на плоскости квадрат со стороной 1.

На оси Ох выбираем произвольную точку х, а на оси Оу - точку у.

по условию расстояние между ними ( то есть |x-y| ) должно быть не больше длины BY (так как АВ=1, то BY=1-y) рис.1

Составляем полученное неравенство:

$|x-y|\leq 1-y\\ \\ \left\{\begin{matrix} x-y\leq 1-y \\ x-y\geq y-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 1 \\ 2y\leq x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 1 \\ y\leq 0.5x+0.5 \end{matrix}\right.$

строим прямую y=0.5x+0.5 (рис.2 красным цветом)

так как стоит знак меньше, значит нам нужно область ниже прямой.

Таким образом условию задачи удовлетворяет область AB₂CD -(трапеция).

По геометрическому определению вероятности надо площадь полученной трапеции поделить на площадь квадрата

$S_{AB_2CD}=\frac{a+b}{2}*h=\frac{0.5+1}{2}*1=0.75 \\ \\ S_{AB_1CB_2}=a^2=1^2=1 \\ \\ p= \frac{0.75}{1}=0.75$