Question

Логарифмическое неравенство 6

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{x-3>0; x-3\neq 1} \atop {x^2-10x+24 >0}} \atop{{x^2-9>0}}} \right.$

x∈(3;4)U(6;+∞)

Можно рассмотреть два случая, когда основание

0<x-3<1

функция убывает и тогда

2(x²-10x+24)≤x^2-9

и

возрастает

{x-3>1

{2(x²-10x+24)≥x^2-9

Эти две системы методом рационализации логарифмических неравенств легко объединить в одно неравенство c cохранением знака неравенства:

(x-3-1)·(2(x^2-10x+24)-(x²-9))≥0

(x-4)·(x²-20x+57)≥0

D=400-4·57=172=4·43

$x=\frac{10\pm2\sqrt{43} }{2}=5\pm\sqrt{43}$

x∈(5-sqrt(43);4) U (5+sqrt(43);+∞)

С учетом ОДЗ:

о т в е т. (3;4) U (5+sqrt(43);+∞)