Question

Логарифмическое неравенство номер 7

Answer 1

$0=log_{\frac{1}{2}}1$

$log_{\frac{1}{2} }log_{8}\frac{x^2-2x}{x-3}\geq log_{\frac{1}{2} }1$

Выражение под знаком логарифма не может быть отрицательным и

логарифмическая функция с основанием (1/2)  убывающая, поэтому

получаем систему двух неравенств:

$\left \{ {{log_{8}\frac{x^2-2x}{x-3}>0} \atop {log_{8}\frac{x^2-2x}{x-3}\geq 1}} \right.$

Второе неравенство сильнее первого, остается только оно

(например в системе t>0 и t ≥1  решение t≥1):

$log_{8}\frac{x^2-2x}{x-3}\geq 1$

$1=log_{8}8$

$log_{8}\frac{x^2-2x}{x-3}\geq log_{8}8\\\\ \left \{ {{ \frac{x^2-2x}{x-3}\geq 8} \atop { \frac{x^2-2x}{x-3}>0}} \right.$

$\frac{x^2-2x}{x-3}\geq 8\\\\\frac{x^2-2x}{x-3}-8\geq 0\\\\\frac{x^2-2x-8x+24}{x-3} \geq 0\\\\\frac{x^2-10x+24}{x-3} \geq 0\\\\\frac{(x-4)(x-6)}{x-3} \geq 0$

Решаем методом интервалов:

__-__ (3) __+_ [4] __-__ [6] __+__

О т в е т. (3;4] U [6;+∞)