Question

Решить систему уравнений

Answer 1

a) $\left \{ {{x^3-y^3=218} \atop {x^2+xy+y^2=109}} \right.$

Умножив левую и правую части второго уравнения на (х - у), получим в левой части разность кубов, как и в первом уравнении.

Приравняем 218 = 109*(х - у), или, сократив на 109: 2 = х - у.

Выразим у = х - 2 и подставим в первое уравнение.

$x^3-(x-2)^3 = 218.\\x^3-9x^3-3*2x^2+3*x*4-8)=218.$

Посла приведения подобных получаем квадратное уравнение:

$6x^2-12x-210=0.$

Сократим на 6: $x^2-2x-35=0.$   D = 4 +4*35 = 144.

x1 = (2 - 12)/2 = -5,   x2 = (2 + 12)/2 = 7.

Подставим значения х в у = х - 2 и получим у1 = -7, у2 = 5.

Ответ: x1 = -5,   у1 = -7.

           x2 =  7,    у2 = 5.

b) $\sqrt{\frac{x}{y}} -\sqrt{\frac{y}{x}} =3/2,\\ x+y+xy=9$

Возведём первое уравнение в квадрат.

(х/у) - 2(х/у)*(у/х) + (у/х) = 9/4.   Второй член левой части равен -2, перенесём его вправо вместе с заменой (x/y) = t, (y/x) = 1/t.

t + (1/t) = 2 + (9/4),  приведём к общему знаменателю и получим:

4t² + 4 = 17t    4t² - 17t + 4 = 0,  D = 289 - 4*4*4 = 225.

t1 = (17 - 15)/(2*4) =2/8 = 1/4,

t2 = (17 + 15)/(2*4) = 32/8 = 4.

Вернёмся к замене t = (х/у) = (1/4). откуда у= 4х, но из условия задачи следует, что (x/y) > (y/x) (х и у имеют одинаковые знаки, разность корней с такими выражениями положительна при x > 0).

Значит, это решение отбрасываем.

Остаётся t = (х/у) = 4, откуда у = х/4.

Подставляем это значение во второе исходное уравнение.

х + (х/4) + х*(х/4) = 9.

После приведения подобных получаем квадратное уравнение:

$x^2+5x-36=0, D=25+4/1/36=169,\\x1(-5-13)/2 = -9, x2 = (-5+13)/2 = 4.$

Ответ: х1 = -9, у1 = -2,25,

           х2 = 4,  у2 = 1.