Question

В правильной треугольной пирамиде SABC.Боковое ребро которой равно стороне основания,точка K-середина ребра SB,точка M-середина ребра BC.Найдите косинус угла между прямыми AK и SM.

Answer 1

Поместим пирамиду вершиной В в начало координат.

ВС - по оси Оу.

Из условия вытекает, что заданная пирамида - правильный тетраэдр.

Примем длину ребра за 1, высота каждой грани (в том числе АК и SM) равна √3/2, высота тетраэдра (H(S)) равна √(2/3).

Находим координаты заданных точек.

х(А) = √3/2.

y(А) = 0,5.

z(А) = 0.                    A((√3/2); 0,5; 0).

x(K) = √3/12.

y(K) = 0,25.

z(K) = (1/2)*√(2/3).     K((√3/12); 0,25; (√2/(2√3)).

x(S) = √3/6.

y(S) = 0,5.

z(S) = √(2/3).             S((√3/6); 0,5; (√2/√3)).

                                 M(0; 0,5; 0).

Находим векторы:

AK = ((-5√3/12); -0,25; (√2/(2√3))),  SM = ((-√3/6); 0; (-√2/√3))

Модули этих векторов равны (√3/2) по определению высот граней.

Находим косинус угла:

Модуль скалярного произведения равен (1/8) = 0,125.

cosφ = (1/8)/((√3/2)*(√3/2)) = 1/6.

Угол равен 1,403348 радиан или 80,40593 градуса.