Question

Докажите неравенство
​

Answer 1

Пусть некоторая тройка $(a_{0},\; b_{0},\; c_{0})$ - решение, т.е. удовлетворяет неравенству. Тогда легко проверить, что любая тройка $(ta_{0},\; tb_{0},\; tc_{0}),\; t>0$ тоже подходит. Выберем $t=\frac{c}{ab} >0$. Перепишем наше неравенство: $\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}\leq \sqrt{\frac{ab}{c} }$. После увеличения каждой переменной в указанное количество раз, получим: $\frac{atbt}{ct}=\frac{ab}{c}t=1 \Leftrightarrow ab=c$.

Итого: $\sqrt{a-ab}+\sqrt{b-ab}\leq 1 \Leftrightarrow\sqrt{a(1-b)}+\sqrt{b(1-a)}\leq 1$. Теперь можем оценить левую часть, используя нер-во между ср.арифм. и ср.геом.: $\sqrt{a(1-b)}+\sqrt{b(1-a)}\leq \frac{a+1-b}{2}+\frac{b+1-a}{2}=1$, что и требовалось