Question

решите пожалуйста 4в012

Answer 1

$\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}-\arccos\frac{\sqrt6+1}{2\sqrt3}=?$

Найдем косинус данного выражения и воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$

Для подстановки нам также понадобятся 2 свойства: $\cos(\arccos a)=a,\\\sin(\arccos a)=\sqrt{1-a^2}.$

$\cos(\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}-\arccos\frac{\sqrt6+1}{2\sqrt3})=\cos(\arccos\sqrt{\frac{2}{3}})\cdot\cos(\arccos\frac{\sqrt6+1}{2\sqrt3})+\sin(\arccos\sqrt{\frac{2}{3}})\cdot\sin(\arccos\frac{\sqrt6+1}{2\sqrt3})=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\frac{\sqrt6+1}{2\sqrt3}+\sqrt{1-(\sqrt{\frac{2}{3}})^2}\cdot\sqrt{1-(\frac{\sqrt6+1}{2\sqrt3})^2}=\frac{\sqrt2(\sqrt6+1)}{2\cdot3}+\sqrt{(1-\frac{2}{3} )(1-\frac{6+1+2\sqrt6}{4\cdot3} )} =\frac{\sqrt12+\sqrt2}{6}+\sqrt{\frac{1}{3}\cdot\frac{5-2\sqrt6}{12}}=$

$=\frac{2\sqrt3+\sqrt2}{6} +\sqrt{\frac{(\sqrt2-\sqrt3)^2}{36} }=\frac{2\sqrt3+\sqrt2}{6}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{6}=\frac{2\sqrt3+\sqrt2+\sqrt3-\sqrt2}{6}=\frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2} .$

Тогда

$\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}-\arccos\frac{\sqrt6+1}{2\sqrt3}=\arccos(\frac{\sqrt3}{2})=\frac{\pi}{6}$

В градусах - 30°.

ОТВЕТ: 30°.