Question

(1+e^x)ydy-e^ydx=0
Помогите пожалуйста
Буду благодарен

Answer 1

$(1+e^x)ydy-e^ydx=0\\ \int\dfrac{ydy}{e^y}=\int\dfrac{dx}{1+e^x}\\ \left[y=u=>du=dy,dv=-e^{-y}d(-y)=>v=-e^{-y}\right]\\\left[\int\dfrac{dx}{1+e^x}=\int \dfrac{d(e^x)}{e^x(e^x+1)}=\int (\dfrac{1}{e^x}-\dfrac{1}{1+e^x})d(e^x)=lne^x-ln(1+e^x)+C_1\right] \\ -ye^{-y}-\int -e^{-y}dy=lne^x-ln(1+e^x)+C_1\\ -ye^{-y}-e^{-y}=lne^x-ln(1+e^x)+C_1\\ (y+1)e^{-y}=ln\dfrac{C(1+e^x)}{e^x}$