Question

"Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых в два
раза меньше их произведения"
Помогите решить, пожалуйста. Методом тыка нашёл две пары - 4,4;6,3, а как объяснить алгоритм, не знаю. ​

Answer 1

Пусть первое число будет х, тогда второе будет у

х+у - сумма этих чисел

х*у - соответственно произведение. Составим уравнение.

2*(х+у)= х*у

$x + y = \frac{xy}{2} \\ x = \frac{xy}{2} - y \\ x = y( \frac{x}{2} - 1) \\ y = \frac{2x}{x - 2}$

Построив график функции можно увидеть , что при натуральных х график принимает натуральные значения лишь в трёх случаях :

(3;6) (4;4) (6;3), при х≤1 у принимает отрицательные значения (не натуральные),при х = 2 у стремится в бесконечность, при х>6 у стремится к 2 , но никогда 2 не достигнет

Соответственно, таких пар лишь три

Answer 2

В соответствии с условием задачи, составим равенство

2(х+y)=xy, где (х;у) - искомые пары чисел

Из данного равенства следует, что ху делится на 2, значит, произведение чисел ху является чётным числом, следовательно, хотя бы одно из чисел произведения четное число.

Пусть х - четное число, значит, его можно представить следующим образом: х=2n, где n∈N

Запишем наше равенство, подставляя вместо переменной икс  2n:

2(2n+y)=2ny

Находим у:

2n+y=2ny/2

2n+y=ny

2n=ny-y

2n=y(n-1)

y=2n/(n-1), n≠1

Итак, получили пару чисел (2n; 2n/(n-1))

Преобразуем выражение y= 2n/(n-1) - выделим целую часть:

y=2n/(n-1) = (2(n-1)+2)/(n-1) = 2+ 2/(n-1)

y= 2+ 2/(n-1)

y-2 = 2/(n-1)

Очевидно, что y-2 = 2/(n-1)

Значит, 2 должно делиться нацело на n-1, т.е есть два варианта:

n-1=1  и n-1=2

n=2    и  n=3

Значит, при n=2  х=2n=2*2=4, тогда у=2n/(n-1)=4/(2-1)=4/1=4

             при n=3  x=2n=2*3=6, тогда y=2n/(n-1)=6/(3-1)=6/2=3

Получаем пары чисел (4;4) и (6;3)

Если в паре (x;y)  число y- четно, то пара (3;6) также подойдёт под условие задачи.