Question

Решите неравенство, Егэ​

Answer 1

${4}^{2x + 1.5} - {9}^{x + 0.5} \geqslant 2 \times {12}^{x} \\ {2}^{2(2x + 1.5)} - {3}^{2(x + 0.5)} \geqslant 2 (3 \times 4)^{x} \\ {2}^{4x + 3} - {3}^{2x + 1} \geqslant 2(3 \times 4)^{x} \\ {2}^{4x} \times {2}^{3} - {3}^{2x} \times 3 \geqslant 2 \times {3}^{x} \times {4}^{x} \\ \frac{{2}^{4x} }{ {4}^{x} } \times 8 - \frac{ {3}^{2x} }{ {4}^{x} } \times 3 \geqslant 2 \times {3}^{x} \\ {2}^{2x} \times 8 - \frac{ {3}^{2x} }{ {4}^{x} } \times 3 \geqslant 2 \times {3}^{x} \\ \frac{ {2}^{2x} }{ {3}^{x} } \times 8 - \frac{ {3}^{2x} }{ {3}^{x} \times {4}^{x} } \times 3 \geqslant 2 \\ ( \frac{4}{3} )^{x} \times 8 - ( \frac{3}{4} )^{x} \times 3 \geqslant 2 \\ ( \frac{4}{3} )^{x} \times 8 - ( \frac{4}{3} )^{ - x} \times 3 \geqslant 2 \\ ( \frac{4}{3} )^{x} \times 8 -( ( \frac{4}{3} )^{x} ) ^{ - 1} \times 3 \geqslant 2$

Заменим (4/3)^x = t, t > 0. Тогда наше неравенство будет выглядеть:

$8t - 3 {t}^{ - 1} - 2 \geqslant 0 \\ 8t - \frac{3}{t} - 2 \geqslant 0 \\ 8 {t}^{2} - 2t - 3 \geqslant 0 \\ D = 4 + 24 \times 4 = 100 = {10}^{2} \\ t_{1} = \frac{2 + 10}{16} = \frac{3}{4} \\ t_{2} = \frac{2 - 10}{16} = - \frac{1}{2}$

Так как на переменную t стоит ограничение t > 0, а -1/2 не входит в этот промежуток, то решением неравенства относительно t является промежуток [3/4;+∞) или t ≥ 3/4.

Проводим обратную замену:

$( \frac{4}{3} )^{x} ≥ \frac{3}{4} \\ ( \frac{4}{3} )^{x} ≥ ( \frac{4}{3} )^{ - 1} \\ x ≥ - 1$

Ответ:

$x \in[ - 1; + \infty )$