Question

При каких значениях параметра a корни уравнения x^2 + (5a − 1)x + a^2 + 3a − 4 = 0 удовлетворяют условиям: |x1| ≤ 0; x2 > 0.

Answer 1

Во первых, значений выражения $|x_1|$ всегда $\geq 0$, а значит - согласно условию - должно выполняться равенство $|x_1|=0\Rightarrow x_1=0$.

Во вторых, по теореме Виета:

$\left \{ {{x_1+x_2=-(5a-1)} \atop {x_1\cdot x_2=a^2+3a-4}} \right.$, а так как $x_1=0$, система значительно упрощается:

$\left \{ {{x_2=1-5a;} \atop {a^2+3a-4=0}} \right.$.

Одновременно выполняются условия $\left \{ {{1-5a>0} \atop {a^2+3a-4=0}} \right.$

Решение неравенства $1-5a>0$ - $a\in(-\infty; 1/5)$.

Корни уравнения $a^2+3a-4=0$ найдем по все той же теореме Виета:

$\left \{ {{a_1+a_2=-3} \atop {a_1a_2=-4}} \right. \Rightarrow a_1=-4; a_2=1$

Значение $a=1$ не удовлетворяет неравенство, а значит единственное значение параметра, удовлетворяющее условиям - это $a=-4.$

ОТВЕТ: a = -4.