Question

Производная сложной функции
$y=\frac{x^{3}+2x+1}{x+3}$

$y=ln(x+\sqrt{x} )$

Answer 1

$y = \frac{ {x}^{3} + 2x + 1}{x + 3}$

Найдем производную по формуле:

$( \frac{f}{g} )' = \frac{f'g - fg'}{ {g}^{2} }$

$y' = ( \frac{ {x}^{3} + 2x + 1 }{x + 3} )' = \frac{(3 {x}^{2} + 2)(x + 3) - ({x}^{3} + 2x + 1) }{(x + 3)^{2} } = \\ = \frac{3 {x}^{3} + 9 {x}^{2} + 2x + 6 - {x}^{3} - 2x - 1}{(x + 3)^{2} } = \\ = \frac{2 {x}^{3} + 9 {x}^{2} + 5}{(x + 3)^{2} }$

—————————————————————————————

$y = ln(x + \sqrt{x} )$

Найдём производную по формуле производной сложной функции:

$(f(g))' = f'(g) \times g'$

$y' = ( ln(x + \sqrt{x} ) )' = ( ln(g) )' \times (x + \sqrt{x} )' = \\ = \frac{1}{g} \times ((x)' + ( \sqrt{x} )') = \\ = \frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x} } }{x + \sqrt{x} } = \frac{ \frac{2 \sqrt{x} + 1 }{2 \sqrt{x} } }{x + \sqrt{x} } = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2x + 2x \sqrt{x} }$