Question

4 tg x – 6ctg x + 5 = 0

Answer 1

Дано уравнение:

$4 \tg(x) - 6 \ctg(x) + 5 = 0$

ОДЗ:

$x≠ \frac{\pi}{2} + \pi l, \: l \in Z$

Упрощаем уравнение:

$4 \tg(x) - \frac{6}{ \tg(x) } + 5 = 0 \\ 4 \tg^{2} (x) + 5 \tg(x) - 6 = 0$

Заменим tgx = t. Тогда наше уравнение будет иметь более упрощённый вид:

$4 {t}^{2} + 5t - 6 = 0 \\ D = 25 + 16 \times 6 = 121 = {11}^{2} \\ t_{1} = \frac{ - 5 + 11}{8} = \frac{3}{4} \\ t_{2} = \frac{ - 5 - 11}{8} = - 2$

Проводим обратную замену:

$1) \: \tg(x) = \frac{3}{4} \\ x = \arctg(0.75) + \pi n , \: n \in Z \\ 2) \: \tg(x) = - 2 \\ x = - \arctg(2) + \pi m, \: m \in Z$

Эти два корня и являются решением.