Question

Помогите решить ЛНУ 2 порядка
y"-2y'- 8y =12sin2x-36cos2x

Answer 1

Дано уравнение:

$y'' - 2y' - 8y = 12 \sin(2x) - 36 \cos(2x)$

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Для этого обнулим правую часть:

$y'' - 2y' - 8y = 0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\gamma^{2} - 2 \gamma - 8 = 0 \\ \gamma_{1} = - 2, \: \gamma_{2} = 4$

Получили различные действительные корни, поэтому общее решение:

$Y = C_{1} {e}^{ - 2x} + C_{2} {e}^{4x}, \: C_{1}, C_{1} - const$

Частное решение неоднородного уравнения ищем в "обычном" виде:

$ŷ = A \sin(2x) + B \cos(2x)$

Выясним чему равны коэффициенты A и B.

Найдём производные:

$ŷ' = (A \sin(2x) + B \cos(2x) )' = 2A \cos(2x) - 2B \sin(2x) \\ ŷ'' = (A \sin(2x) + B \cos(2x) )'' = - 4A \sin(2x) - 4B \cos(2x)$

Подставим ŷ, ŷ', ŷ'' в левую часть уравнения:

$- 4A \sin(2x) - 4B \cos(2x) - 2(2A \cos(2x) - 2B \sin(2x)) - 8(A \sin(2x) + B \cos(2x) ) = \\ = - 4A \sin(2x) - 4B \cos(2x) - 4A \cos(2x) + 4B \sin(2x)- 8A \sin(2x) - 8B \cos(2x) = \\ = - 12A \sin(2x) - 12B \cos(2x) - 4A \cos(2x) + 4B \sin(2x) = \\ = - 12A \sin(2x)+ 4B \sin(2x)- 12B \cos(2x) - 4A \cos(2x) = \\ = ( - 12A + 4B) \sin(2x) + ( - 4A - 12B) \cos(2x) = 12 \sin(2x) - 36 \cos(2x)$

(После максимальных упрощений приписываем правую часть)

Из последнего равенства составим и решим систему:

$- 12A + 4B = 12, \\ - 4A - 12B = - 36; \\ 3A - B = - 3,\\ A + 3B = 9; \\ 9A - 3B = - 9,\\ + \\ A + 3B = 9; \\ 10A = 0 = > A = 0 = > B = 3$

Таким образом, подобранное частное решение:

$ŷ = 3 \cos(2x)$

Составим общее решение неоднородного уравнения:

$y = Y + ŷ = C_{1} {e}^{ - 2x} + C_{2} {e}^{4x} + 3 \cos(2x)$

Ответ:

$y = C_{1} {e}^{ - 2x} + C_{2} {e}^{4x} + 3 \cos(2x), \: C_{1}, C_{1} - const$