Question

Помогите вычислить границу функции.

Answer 1

$\displaystyle \text{d}) \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{4x + 5}{4x - 9} \right)^{3x- 7} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{4x + 5}{4x - 9} - 1 \right)^{3x- 7} =\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{14}{4x - 9} \right)^{3x- 7} = \\=\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{4x - 9}{14} } \right)^{\bigg{\frac{4x - 9}{14}} \cdot \bigg{\frac{14}{4x - 9} }\cdot (3x- 7)} = e^{\displaystyle \ \lim_{x \to \infty} }^{\bigg{\frac{42x - 98}{4x - 9}}} = e^{\bigg{\frac{42}{4}}} = e^{10,5} = e^{10}\sqrt{e}$

$\displaystyle \text{h}) \lim_{x \to \infty} \left(\frac{3x - 2}{x - 1} \right)^{\bigg{\frac{3x-10}{x^{2} - 4} }} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3x - 2}{x - 1} -1 \right)^{\bigg{\frac{3x-10}{x^{2} - 4} }} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2x - 1}{x - 1} \right)^{\bigg{\frac{3x-10}{x^{2} - 4} }} =$$= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\dfrac{x - 1}{2x - 1} } \right)^{\bigg{\frac{x - 1}{2x - 1} \cdot \frac{2x - 1}{x - 1} \cdot \frac{3x-10}{x^{2} - 4} }} = e^{ \ \displaystyle \lim_{x \to \infty} }^{\bigg{\frac{(2x-1)(3x-10)}{(x-1)(x^{2}-4)} }} =\\= e^{ \ \displaystyle \lim_{x \to \infty} }^{\bigg{\frac{2x \cdot 3x}{x \cdot x^{2}} }} = e^{0} = 1$

Для нахождения пределов такого вида воспользуйтесь теоремой о втором замечательном пределе: имеет место соотношение вида $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = e$ или $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1 + x \right)^{\bigg{\frac{1}{x} }} = e$.