Question

Задание на фотографии

Answer 1

Наша область является неограниченной снизу и разобъем данную область прямой y = -2. Будем рассматривать как сумму двух интегралов

$\displaystyle \iint\limits_D\dfrac{x^2}{y^2}dxdy=\int\limits^2_{-2}dy\int\limits^{2}_y\dfrac{x^2}{y^2}dx+\int\limits^{-2}_{-\infty}dy\int\limits^2_{4/y}\dfrac{x^2}{y^2}dx=\int\limits^2_{-2}\dfrac{x^3}{3y^2}\bigg|^2_{y}dy+\\ \\ \\ +\int\limits^{-2}_{-\infty}\dfrac{x^3}{3y^2}\bigg|^2_{\frac{4}{y}}dy=\int\limits^2_{-2}\left(\dfrac{8}{3y^2}-\dfrac{y}{3}\right)dy+\int\limits^{-2}_{-\infty}\left(\dfrac{8}{3y^2}-\dfrac{64}{3y^5}\right)dy=$

$\displaystyle =\left(-\dfrac{8}{3y}-\dfrac{y^2}{6}\right)\bigg|^2_{-2}+\left(-\dfrac{8}{3y}+\dfrac{16}{3y^4}\right)\bigg|^{-2}_{-\infty}=-\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}=\\ \\ \\ =-\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{3}=-1$

Answer 2

$xy=4;\ \ \ \ x=\dfrac 4y;\ \ \ \ \lim_{y \to -\infty}\ \dfrac 4y= -0$

Область интегрирования можно разбить на две части :

1) x∈[-2;0) , снизу область ограничена гиперболой  y = 4/x, сверху прямой y=x   (на рисунке залита фиолетовым цветом )

2) x∈[0;2] , снизу область не ограничена, сверху ограничена прямой y=x   (на рисунке залита зелёным цветом )

$\displaystyle1)~\iint\limits_{D_1} {\dfrac{x^2}{y^2}} \, dx =\int\limits^0_{-2} dx \int\limits^x_{4/x} \dfrac{x^2}{y^2}\ dy =\int\limits^0_{-2} \bigg(-\dfrac{x^2}y\bigg)\ \bigg|^x_{\frac 4x} dx =\\\\=-\int\limits^0_{-2} \bigg(\dfrac{x^2}x-x^2:\dfrac 4x\bigg)\ dx =-\int\limits^0_{-2} \bigg(x-\dfrac {x^3}4\bigg)\ dx = \\\\=-\bigg(\dfrac {x^2}2-\dfrac{x^4}{16}\bigg)\bigg|^0_{-2}=0+\dfrac42-\dfrac {16}{16}=1$

$\displaystyle2)~\iint\limits_{D_2} {\dfrac{x^2}{y^2}} \, dx =\int\limits^2_0 dx \int\limits^x_{-\infty} \dfrac{x^2}{y^2}\ dy =\int\limits^2_0 \bigg(-\dfrac{x^2}y\bigg)\ \bigg|^x_{-\infty} dx =\\\\=-\int\limits^2_0 \bigg(\dfrac{x^2}x-(-0)\bigg)\ dx =-\int\limits^2_0 x\ dx = \\\\=-\dfrac {x^2}2\ \bigg|^2_0=-\dfrac42+0=-2$

$\displaystyle~\iint\limits_D {\dfrac{x^2}{y^2}} \, dx =\iint\limits_{D_1} {\dfrac{x^2}{y^2}} \, dx+\iint\limits_{D_2} {\dfrac{x^2}{y^2}} \, dx=1-2=-1$