Question

Найдите наибольшее значение функции: y = 2x² - 10x + 6lnx - 3 на отрезке [10/11;12/11]

Answer 1

Дана функция:

$y = 2 {x}^{2} - 10x + 6 ln(x) -3$

Найдем её производную:

$y' = 4x - 10 + \frac{6}{x}$

Приравняем производную к нулю:

$4x - 10 + \frac{6}{x} = 0 \\ 4 {x}^{2} - 10x + 6 = 0 \\ 2 {x}^{2} - 5x + 3 = 0 \\ x_{1} = \frac{3}{2} \\ x_{2} = 1$

Получили 2 точки возможного экстремума. Так как 12/11 < 1.5, то точка 1.5 не попадает в данный промежуток, поэтому проверяем поведение производной в окрестностях 1.

Возьмём точку 0.95 < 1. Подставляем в производную:

$4 \times 0.95 - 10 + \frac{6}{0.95} = \frac{11}{95}$

Число положительное, следовательно функция возрастает.

Берём точку 1.05 > 1. Подставляем в производную:

$4 \times 1.05 - 10 + \frac{6}{1.05} = - \frac{3}{35}$

Число отрицательное, следовательно функция убывает.

Ситуация такая: слева от 1 функция возрастает, а справа – убывает, а это значит что точка 1 является наибольшим значением функции. Подставим точку 1 в функцию:

$y = 2 - 10 + 0 - 3 = -11$

Ответ: -11