Question

Решить дифференциальное уравнение х2(dу/dx) + (x)1/3 tgy = 0

Answer 1

$x^2y'+\dfrac{x}{3}{\rm tg}\, y=0\\ \\x=0;~~ xy'+\dfrac{{\rm tg}\, y}{3}=0\\ \\ xy'=-\dfrac{{\rm tg}\, y}{3}~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{dy}{{\rm tg}\, y}=-\dfrac{dx}{3x}~~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int \dfrac{\cos ydy}{\sin y}=-\int \dfrac{dx}{3x}\\ \\ \\ \int \dfrac{d(\sin y)}{\sin y}=-\int \dfrac{dx}{3x}~~~\Rightarrow~~~ \ln|\sin y|=-\dfrac{1}{3}\ln|x|+\ln C\\ \\ \ln |\sin y|=\ln \left|\dfrac{C}{\sqrt[3]{x}}\right|\\ \\ \sin y=\dfrac{C}{\sqrt[3]{x}}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=\arcsin\dfrac{C}{\sqrt[3]{x}}}$