Question

Решить уравнение
sin 2x=2*(1+sin x+cos x)

Answer 1

Пусть $\sin x+\cos x=t~~(|t|\leq\sqrt{2})$. Возводим обе части равенства в квадрат, получим $1+\sin 2x=t^2~~\Rightarrow~~ \sin2x=t^2-1$. Получим:

$t^2-1=2(1+t)\\ \\ t^2-1=2+2t\\ \\ t^2-2t+1=4\\ \\ (t-1)^2=4\\ \\ t-1=\pm 2\\ \\ t_1=1$

$t_2=-3$ - не удовлетворяет неравенству $|t|\leq \sqrt{2}$

$\sin x+\cos x=1~~~\bigg|\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ x+\dfrac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Смотри в приложении: