Question

100 б. Задание на фотографиях

Answer 1

Образ R данной области описывается множеством :

$R=\Big\{(r,\theta)~|~ 3\leq r\leq 5,~ \pi \leq\theta\leq2\pi\Big\}$

$\displaystyle \iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2-9}dxdy=\int\limits^{2\pi}_{\pi}\int\limits^{5}_3\sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2-9}drd\theta=\\ \\ \\ =\int\limits^{2\pi}_{\pi}\int\limits^5_3\sqrt{r^2-9}drd\theta=\int\limits^{2\pi}_{\pi}d\theta\int\limits^{5}_3\sqrt{r^2-9}dr=\\ \\ \\ =\underbrace{\int\limits^{2\pi}_{\pi}d\theta}_{\pi}\left(\dfrac{r}{2}\sqrt{r^2-9}-\dfrac{9}{2}\ln \left|\sqrt{r^2-9}+r\right|\right)\Bigg|^5_3=\left(10+\ln\dfrac{1}{81\sqrt{3}}\right)\pi$