Question

Решить данные диф ур и написать какой вид
x*y*y'=(y^2)+x*((x^2)-9*(y^2))​

Answer 1

Тип: линейное однородное дифференциальное уравнение I порядка

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$.

$ux^2(u'x+u)=u^2x^2+x^2\sqrt{1-9u^2}\\ \\ x=0;~~~ uu'x=\sqrt{1-9u^2}$

Пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \dfrac{udu}{\sqrt{1-9u^2}}=\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ -\dfrac{1}{18}\int \dfrac{d(1-9u^2)}{\sqrt{1-9u^2}}=\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ -\dfrac{1}{9}\sqrt{1-9u^2}=\ln |x|+C\\ \\ \boxed{-\dfrac{1}{9}\sqrt{1-9\cdot \dfrac{y^2}{x^2}}=\ln|x|+C}$

Получили общий интеграл)