Question

Решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Заметим, что это линейное однородное диф. уравнение.

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u

$x^2(u'x+u)=ux^2+u^2x^2e^{-1/u}\\ \\ x=0;~~ u'x=u^2e^{-1/u}$

Пришли к диф. уравнению с разделяющимися переменными

$\displaystyle \int\dfrac{du}{u^2e^{-1/u}}=\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ \int\dfrac{d(-1/u)}{e^{-1/u}}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ -e^{-1/u}=\ln |x|+C\\ \\ C=-e^{x/y}-\ln |x|$

Найдем общий интеграл, подставив начальные условия

$C=-e^{-1}$

$\boxed{e^{-1}=e^{x/y}+\ln |x|}$ - частный интеграл