Question

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 10 см,а высота,проведённая к ней,равна 3 см.Найдите радиус окружности,вписанной в этот треугольник

Answer 1

Радиус вписанной окружности равен $r= frac{S}{p}$, гдк r-радиус, S-площадь, p-полупериметр. 
Найдем площадь треугольника.(площадь равна половина произведения основания на высоту к ней проведенную, т.е. $S= frac{10*3}{2}$)Площадь равна 15.
Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а квадрат гипотинузы равен сумме квадратов катетов. обозначим катеты за a и b и решим систему $left { {{a^2+b^2 =100} atop { frac{a*b}{2}=15 }} right.$ получим, что a=$sqrt{10}$ , b=3$sqrt{10}$(так же мы получим еще пару решений a и b, но если подставить их в первое уравнение системы они не подойдут). Теперь найдем полупериметр. он равен 2$sqrt{10}$+5.
Найдем радиус описанной окружности. радиус равен $frac{15}{2 sqrt{10}+5 }$