Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
$y = | x^{2} + x - 2 | - ln\frac{1}{x}$,
на отрезке $[-\frac{1}{2};2]$

Answer 1

$y=|x^2+x-2|-\ln \frac{1}{x}=|(x-1)(x+2)|+\ln x$

Область определения функции: x > 0

Рассмотрим два случая:

1) Если 0 < x < 1, то $y=-(x^2+x-2)+\ln x=-x^2-x+2+\ln x$

$y'=\Big(-x^2-x+2+\ln x\Big)'=-2x-1+\dfrac{1}{x}=0~~\bigg|\cdot x\ne 0\\ \\ 2x^2+x-1=0$

Получаем $x_1=-1;~~ x_2=\dfrac{1}{2}$, но рассматриваемая точка экстремума положительная, поэтому откидываем значение x = -1.

(0)__+___(1/2)____-___(1)

Вертикальная асимптота: x = 0 и учитывая то, что функция возрастает с 0(не включая) до значения x=1/2, то у функции наименьшего значения нет.

2) Если 1 < x ≤ 2, то $y=x^2+x-2+\ln x$ - возрастает на промежутке x > 1. Но на промежутке x ∈ (1; 2] будет наибольшее значение функции в точке x = 2 и равно оно $4+\ln2$. Наименьшего значения функции не существует.