Question

Доказать, что 7 в степени n>6n+5, где n принадлежит N, n>=2

Answer 1

Докажем методом математической индукции

1) n = 2: $7^2>6\cdot 2+5=17$ - верно

2) Предположим, что и при $n=k$ верно неравенство $7^k>6k+5$

3) Индукционный переход

$7^{k+1}>6(k+1)+5\\ \\ 7^k+6\cdot 7^k>6k+5+6$

Очевидно, что $6\cdot 7^k>6$ и $7^k>6k+5$ (по предположению), то сложив эти неравенства, получим $7^k+6\cdot 7^k>6k+5+6$, т.е. третий пункт выполнено. Следовательно, на основании метода математической индукции делаем вывод, что неравенство $7^n>6n+5$ верно для всех натуральных $n\ge 2$