Question

Помогите пожалуйста прошу умоляю пожалуйста)))))))

Answer 1

$1)\; \; \int \dfrac{dx}{x^2+3}=\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot arctg\dfrac{x}{\sqrt3}+C\\\\\\2)\; \; \int \dfrac{\sqrt{tgx}\, dx}{cos^2x}=\int (tgx)^{1/2}\cdot d(tgx)=\dfrac{(tgx)^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{2\sqrt{tg^3x}}{3}+C$

$3)\; \; \int (x-2)\sqrt{x+4}\, dx=\Big[\; t=\sqrt{x+4}\; ,\; t^2=x+4\; ,\; x=t^2-4\; ,\; dx=2t\, dt\; \Big]=\\\\=\int (t^2-6)\cdot t\cdot 2t\,. dt=\int (2t^4-12t^2)\, dt=\dfrac{2t^5}{5}+\dfrac{12t^3}{3}+C=\\\\=\dfrac{2}{5}\sqrt{(x+4)^5}+4\sqrt{(x+4)^3}+C$

$4)\; \; \int tg2x\, dx=\int \dfrac{sin2x}{cos2x}\, dx=-\frac{1}{2} \int \dfrac{d(cos2x)}{cos2x}=-\frac{1}{2}\, ln|cos2x|+C$

$5)\; \; \int x^3\cdot e^{x^2}\, dx=\int x^2\cdot (x\, e^{x^2})\, dx=\Big[\; u=x^2\; ,\; du=2x\, dx\; ,\; dv=x\, e^{x^2}\, dx\; ,\\\\v=\frac{1}{2}\, e^{x^2}\; \Big]=uv-\int v\, du=\frac{x^2}{2}\cdot e^{x^2}-\int x\cdot e^{x^2}\, dx=\frac{x^2}{2}\cdot e^{x^2}-\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}+C=\\\\=\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot (x^2-1)+C$

$6)\; \; \int \dfrac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}=\Big[\; t=\sqrt{x}\; ,\; t^2=x\; ,\; dx=2t\, dt\; \Big]=\int \dfrac{2t\, dt}{(t^2+1)\cdot t}=\\\\=\int \dfrac{2\, dt}{t^2+1}=2\cdot arctgt+C=2\cdot arctg(\sqrt{x})+C$