Question

Реши неравенство:
$\displaystyle \frac{14^x}{7(log_7(x-3)^2)^4*log_6(x+2)}\leq \frac{(4*2^x)^x}{4(log_7(x-3)^2)^4*log_6(x+2)}$

Answer 1

https://znanija.com/task/34508252

* * * * * * * * * * * * * * * *   Решить неравенство:

(14^x)/ 7( Log₇(x-3)²)⁴* (Log₆ (x+2) ≤( 4*2^x)^(x) / 4(Log₇(x-3)²)⁴*Log₆ (x+2)

Ответ:  

x ∈ (0 ; Log₂(7/4) ]  ∪  [1 ;2) ∪(2 ;3)  ∪ (3;4) ∪ (4 ;∞) .

Объяснение:    Упрощаем неравенство.

Т.к. (14^x)/7=(2^x)*(7^(x-1) ) и (4*2^x)^(x)/4=(2^x)*(2^(x²+x-2)),то

неравенство преобразуется к виду

((2^x) / Log₇(x-3)²)⁴)* (7^(x-1) -2^(x²+x-2) )  / Log₆ (x+2 ) ≤ 0

ОДЗ: { x-3 ≠0, (x-3)²≠1 ; x+2 >0 ; x+2 ≠1. (все неравенства системы написаны в одной строке)

⇔ { x≠3, x-3≠±1 ; x> -2; x ≠ -1. ⇔{ x>-2; x≠ -1, x≠2 ;x≠3 ; x≠ 4.  разность множеств A= (-2 ;∞)  и B= { -1 ; 2;3 ;4} .

x ∈(-2; -1) ∪(-1 ; 2) ∪(2; 3) ∪(2; 3) ∪(3 ;4) U (4 ; ∞)

(-2)//////// (-1) //////// (2) ///////// (3) ///////// (4) ///////////

для всех допустимых значениях переменного

(2^x*) /((Log₇(x-3)²)⁴) > 0.

Следовательно остается  решить неравенство  :

( 7^(x-1) -2^(x ²+x-2) ) / Log₆ (x+2) ≤ 0 ,

( 7^(x-1) -2^(x-1)(x+2) ) / Log₆ (x+2) ≤ 0 .   || вид M / N  ≤ 0  ||

Числитель  7^(x-1) - 2^(x-1)(x+2)   и  знаменатель Log₆ (x+2) имеют разные знаки.

Применим   метод интервалов. Определяем нули и т.д.

7^(x-1) -2^(x-1)(x+2) =0 ⇔7^(x-1) =2^(x-1)(x+2)  || >0 || ⇔

(x-1)Log₂7 =(x-1)(x+2)  ⇔ (x -1)( Log₂7 -x -2)=0 ⇔

(x -1)( Log₂7 - Log₂4 -x)=0  ⇔(x -1)( Log₂(7/4) -x )

x₁= Log₂(7/4)   ∈ (0,1)

||  Log₂1  < Log₂(7/4)  < Log₂2  ⇔ 0 < Log₂(7/4) < 1  ||

x₂= 1 .

- - - - - - - - - - - - - - -[ Log₂(7/4) ] + + + + +  [1]  - - - -- - - - - -

Log₆ (x+2) =0  ⇒ x= - 1

(-2)- - - - - - - (-1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 

Пересечение  множеств:  x ∈ (0 ; Log₂(7/4) ]  ∪  [1 ;∞) .

Окончательно ,отбросив  x=2; 3;4 которые ∉ ОДЗ получим ответ: x ∈ (0 ; Log₂(7/4) ]  ∪  [1 ;2) ∪(2 ;3)  ∪ (3;4) ∪ (4 ;∞) .

********************************************

! В интервалах  (-2;-1) и  (Log₂(7/4) ] ; 1)  числитель и знаменатель одинакового знака: в (-2; -1) → отрицательны ,в    ( Log₂(7/4) ] ; 1 ) → положительны .

Answer 2

ОДЗ:

{x+2 > 0⇒  x  > -2

{log_(6)(x+2)≠ 0   ⇒  x+2≠ 1 ⇒  x≠ -1

{(x-3)^2 > 0  ⇒  x≠ 3

{log_(7)(x-3)^2≠ 0  ⇒  (x-3)^2≠ 1⇒  (x-3)≠ -1  и (x-3)≠ 1⇒х≠2 и х≠4

ОДЗ: x∈ (-2;-1)U(-1;2)U(2;3)U(3;4)U(4;+∞)

Переносим все слагаемые влево,  выносим за скобки общий множитель:

$\frac{1}{log^4_{7}(x-3)^2\cdot log_{6}(x+2)}\cdot (\frac{14^{x}}{7}-\frac{(4\cdot 2^{x})^{x}}{4} )\leq 0$

При любом х из ОДЗ:

$\frac{1}{log^4_{7}(x-3)^2}\geq 0$

Остается неравенство:

$\frac{1}{ log_{6}(x+2)}\cdot (2^{x}7^{x-1}-4^{x-1}\cdot 2^{x^2} )\leq 0$

Произведение двух множителей неположительно, когда множители имею разные знаки.

Рассматриваем совокупность двух систем:

$\left \{ {{log_{6}(x+2)>0} \atop {2^{x}7^{x-1}-4^{x-1}\cdot 2^{x^2} \leq 0}} \right. \left \{ {{log_{6}(x+2)<0} \atop {2^{x}7^{x-1}-4^{x-1}\cdot 2^{x^2} \geq 0}} \right.$

Решаем первую систему:

$\left \{x+2>1} \atop {(\frac{7}{4})^{x-1} \leq (2^{x})^{x-1}}} \right. \\ \\ \left \{x>-1} \atop {(\frac{7}{4})^{x-1} \leq (2^{x})^{x-1}}} \right. \\ \\ \left \{x>-1} \atop {log_{2}(\frac{7}{4})^{x-1} \leq log_{2} (2^{x})^{x-1}}} \right. \\ \\ \left \{x>-1} \atop {(x-1)\cdot (log_{2}\frac{7}{4}-x) \leq 0 \right. \\ \\ x\in (-1;log_{2}\frac{7}{4}]\cup[1;+\infty)$

log₂7/4 < log₂2 =1

C учетом ОДЗ:

$(-1;log_{2}\frac{7}{4}]\cup[1;2)\cup (2;3) \cup(3;4)\cup(4;+\infty)$

$\left \{x+2<1} \atop {(\frac{7}{4})^{x-1} \geq (2^{x})^{x-1}}} \right. \\ \\ \left \{x<-1} \atop {(\frac{7}{4})^{x-1} \geq (2^{x})^{x-1}}} \right. \\ \\ \left \{x<-1} \atop {log_{2}(\frac{7}{4})^{x-1} \geq log_{2} (2^{x})^{x-1}}} \right. \\ \\ \left \{x<-1} \atop {(x-1)\cdot (log_{2}\frac{7}{4}-x) \geq 0 \right.$

множества x < -1   и [ log₂7/4;1]  не пересекаются

О т в е т. (-1;log₂7/4] U[1;2)U(2;3)U(3;4)U(4;+∞)