Question

Дана функция распределения f(x). Найти дисперсию D(x)

Answer 1

Здесь случайная величина $X$ - непрерывна.

Найдем плотность распределения $p(x)$, как производную от функции распределения $F(x)$:

$p(x)=F'(x)=\displaystyle \left \{ {{0,~~ x\leq 0,~~~ x>2} \atop {\dfrac{x}{2},~~~~~~~ 0<x\leq 2}} \right.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X:$

$MX=\displaystyle \int\limits^a_b {x\cdot p(x)} \, dx =\int\limits^2_0\dfrac{x^2}{2}dx=\dfrac{x^3}{6}\bigg|^2_0=\dfrac{2^3}{6}=\dfrac{4}{3}$

Найдем теперь дисперсию

$DX=\displaystyle MX^2-(MX)^2=\int\limits^a_b x^2p(x)dx-(MX)^2=\int\limits^2_0\dfrac{x^3}{2}dx-\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=\\ \\ =\dfrac{x^4}{8}\bigg|^2_0-\dfrac{16}{9}=\dfrac{2^4}{8}-\dfrac{16}{9}=2-\dfrac{16}{9}=\dfrac{2}{9}$

Ответ: 2/9.