Question

как?! помогите, прошу

Answer 1

$\int\limits^5_1\, \Big(\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}\cdot lnx+\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x}\Big)\, dx=\int\limits^5_1\, \dfrac{3\cdot lnx}{2\sqrt{3x+1}}\, dx+\int\limits^5_1\, \dfrac{\sqrt{3x+1}}{x}\, dx=Q$

$\star \; \int \dfrac{3\cdot lnx}{2\sqrt{3x+1}}\, dx=\Big [\; u=3\, lnx\; ,\; du=\frac{3\, dx}{x}\; ,\; dv=\frac{dx}{2\sqrt{3x+1}}\; ,\; v=\frac{\sqrt{3x+1}}{3}\; \Big]=\\\\=uv-\int v\, du=\sqrt{3x+1}\cdot lnx-\int \dfrac{\sqrt{3x+1}}{x}\, dx\; ;$

$Q=\sqrt{3x+1}\cdot lnx\Big |_1^5-\int\limits^5_1\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x}\, dx+\int\limits^5_1\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x}\, dx=\sqrt{3x+1}\cdot lnx\Big |_1^5=\\\\\\=\sqrt{16}\cdot ln5-\sqrt4\cdot ln1=4\, ln5-0=4\, ln5$

$P.S.\; \int \dfrac{\sqrt{3x+1}}{x}\, dx=\Big[\; t=\sqrt{3x+1}\; ,\; t^2=3x+1\; ,\; x=\frac{1}{3}(t^2-1)\; ,\\\\dx=\frac{2t}{3}\, dt\; \Big]=\int \dfrac{3t}{t^2-1} \cdot \dfrac{2t}{3}\, dt=2\int \dfrac{t^2\, dt}{t^2-1}=2\int \Big(1+\dfrac{1}{t^2-1}\Big)\, dt=\\\\=2\Big (t+\dfrac{1}{2}\, ln\Big|\dfrac{t-1}{t+1}\Big|\Big)+C=2\sqrt{3x+1}+ln\Big |\dfrac{\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{3x+1}+1}\Big|+C$