Question

2 и 4 пожалуйста, решите

Answer 1

2)

|3-|x-2||⩽|x-7|

|3-|x-2||-|x-7|⩽0

_______________________

Изучим все случаи, которых я сам еще не понял сколько...

Первый:

3-|x-2|-(x-7)⩽0, ЕСЛИ 3-|x-2|⩾0 и x-7⩾0

10 - |x - 2| - x ⩽0

Раскроем модуль:

10 - (x-2)-x⩽0, если х-2⩾0

10 - (-(x-2))-x⩽0, если х-2<0

Я не буду расписывать каждое действие, ибо ограничения символов перескочим. Буду показывать нужные действия, которые помогут не упустить корни.

x ∈ [6 ; +∞)

3-|x-2|⩾0

Раскроем модуль:

3-(х-2)⩾0 если х-2⩾0

3-(-x-2))⩾0 если х-2<0

x ∈ [-1 ; 5]

x-7⩾0

x⩾7

Второй:

-(3-|x-2|)-(x-7)⩽0, ЕСЛИ 3-|x-2|<0 и x-7⩾0

-(3-|x-2|)-(x-7)⩽0

-3+|x-2|-(x-7)⩽0

4+|x-2|-x⩽0

Раскроем модуль:

4+x-2-x⩽0, если x-2⩾0

4-x+2⩽0, если x-2<0

x ∈ Ø

3-|x-2|<0

Раскроем модуль:

3-(x-2)<0

3-(-(x-2))<0

x ∈ (-∞;-1)⋃(5;+∞)

x-7⩾0

x⩾7

Третий:

3-|x-2|-(-(x-7))⩽0, ЕСЛИ 3-|x-2|⩾0 и x-7<0

3-|x-2|-(-(x-7))⩽0

-4-|x-2|+x⩽0

Раскроем модуль:

-4-(x-2)+x⩽0, если x-2⩾0

-4+x-2+x⩽0, если x-2<0

x ∈ R

3-|x-2|⩾0

Выше решали...

x ∈ [-1 ; 5]

x-7<0

x<7

Четвертый:

-(3-|x-2|)-(-(x-7))⩽0, ЕСЛИ 3-|x-2|<0 и x-7<0

-(3-|x-2|)-(-(x-7))⩽0

-10+|x-2|+x⩽0

Раскроем модуль:

-10+x-2+x⩽0, если x-2⩾0

-10-x+2+x⩽0, если x-2<0

x ∈ [-∞ ; 6]

3-|x-2|<0

Выше решали...

x ∈ (-∞;-1)⋃(5;+∞)

x-7<0

Выше решали...

x<7

_________________________________

Подведем итог:

Первый:

x ∈ [6 ; +∞), x ∈ [-1 ; 5], x⩾7 (по сути пустое множество. Можно записать как: x ∈ Ø)

Второй:

x ∈ Ø, x ∈ (-∞;-1)⋃(5;+∞), x⩾7 (такая же ситуация. Кошелек есть, но в нем ничего нет. Пустое множество. x ∈ Ø)

Третий:

x ∈ R, x ∈ [-1 ; 5], x<7 (Начертим)

//////////////////////////////////////////////

________⚫______⚫_______⚪________

                -1              5                 7

                 //////////////

В этом случае множество имеет смысл. x ∈ [-1 ; 5]

Четвертый:

x ∈ [-∞ ; 6] , (-∞;-1)⋃(5;+∞), x<7(Начертим)

////////////////////                 ////////////////////////////////////////////////////

__________⚪______⚪______⚫_______⚪___________

                    -1              5              6                7

/////////////////////////////////////////////////

//////////////////////////////////////////////////////////////////

И тут имеет. x ∈ (∞;-1)⋃(5;6]

_______________________________________

Подведем итог итогу:

x ∈ [-1 ; 5] и x ∈ (-∞;-1)⋃(5;6] - всё что осталось после отсеивания. Найдем объединение, что и послужит ответом:

                   /////////////////////

_________⚪__________⚪_________⚫_____________

                 -1                        5                     6

/////////////////                           /////////////////////

А значит:

x ∈ (-∞;6]

Ответ: x ∈ (-∞; 6]

4)

|sinx|=cos2x

Раскроем модуль:

sinx=cos2x

sinx=-cos2x

=======================================

sinx=cos2x

(2sin(x)-1)(sin(x)+1)=0

Приравниваем множители к нулю получаем:

x=п/6+2пn, x=5п/6+2пn, x = 3п/2+2пn

$x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n }{3}$ , где n ∈ Z

=======================================

sinx=-cos2x

(-2sin(x)-1)(sin(x)-1)=0

Приравниваем множители к нулю получаем:

x=7п/6+2пn, x=11п/6+2пn, x = п/2+2пn

x=п/2+(2пn)/3, где n ∈ Z

_________________

Объединяем ответы, получаем:

Ответ: x = $\frac{\pi }{6} +\pi n$ и  $\frac{5\pi }{6} +\pi n$ , где n ∈ Z.