Question

Вывести формулу модуля всестороннего сжатия.

Answer 1

Рассмотрим сжатие куба.

Деформации его граней:

$\varepsilon_x = \frac{\Delta x}{x}$; $\varepsilon_y= \frac{\Delta y}{y}$; $\varepsilon_z = \frac{\Delta z}{z}$.

Каждая деформация складывается из относительного удлинения вдоль выбранной оси, равная $-\frac{p}{E}$ (p - давление, оказываемое на грань, E- модуль Юнга, "-" потому что сжатие) и деформаций, связанных с деформациями поперечных компонент, каждая из которых равна $-\mu(- \frac{p}{E})$, где μ - коэффициент Пуассона.

Тогда:

$\varepsilon_x =-\frac{p}{E} + \mu \frac{p}{E}+\mu \frac{p}{E} = -\frac{p}{E} (1-2\mu)$

$\varepsilon_y = -\frac{p}{E} (1-2\mu)$

$\varepsilon_z = -\frac{p}{E} (1-2\mu)$

Суммарная деформация, выражается через модуль всестороннего сжатия K:

$\frac{\Delta V}{V} = -\frac{p}{K}$,

С другой стороны:

$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta x}{x} +\frac{\Delta y}{y} +\frac{\Delta z}{z} = \varepsilon_x +\varepsilon_y + \varepsilon_z = -3\frac{p}{E}(1-2\mu)$.

Отсюда:

$K=\frac{E}{3(1-2\mu)}$