Question

помогите пожалуйста решить все

Answer 1

№3.

Пусть $\vec{n_1}$ нормальный вектор плоскости x+y-z=0, тогда $\displaystyle \vec{n_1}=\{1;1;-1\}$.

Пусть $\displaystyle \vec{n_2}$ нормальный вектор плоскости x-y-5z=8, тогда $\displaystyle \vec{n_2} =\{1;-1;-5\}$.

Пусть $\displaystyle \vec{p_1}=\{x_p ;y_p ;z_p\}$ направляющий вектор прямой, заданной системой.

Скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$, $\displaystyle \vec{p_1}$ и $\displaystyle \vec{n_2}$ , $\displaystyle \vec{p_1}$  равно нулю т.к. эти векторы перпендикулярны.

$\displaystyle \left \{ {{(\vec{n_1} \cdot \vec{p_1})=0} \atop {(\vec{n_1} \cdot \vec{p_1})=0}} \right. \\ \\ \left \{ {{x_p+y_p-z_p=0} \atop {x_p-y_p-5z_p=0}} \right. \\ \\ \left \{ {{y_p=-2z_p} \atop {x_p=3z_p}} \right. \qquad \vec{p_1}=\{3;-2;1\}$

Осталось найти общею точку плоскостей, что полностью определить прямую. Пусть z=0, тогда $\displaystyle \left \{ {{x+y=0} \atop {x-y=8}} \right.$ откуда x=4; y=-4. Получили точку A(4;-4;0).

Пусть $\displaystyle \vec{p_2}$ направляющий вектор прямой $\dfrac{x+2}3 =\dfrac{y-1}{-2} =\dfrac{z}1$, тогда $\displaystyle \vec{p_2}=\{3;-2;1\}$, а точка этой прямой B(-2;1;0).

$\displaystyle \vec{p_1}$ = $\displaystyle \vec{p_2}$, значит прямые параллельны или совпадают ⇒ не пересекаются. Аппликата у точек A и B равна 0, но эти точки различны, значит прямые не совпадают.

Составим уравнение плоскости, перпендикулярной прямой с точкой A и направляющим вектором $\displaystyle \vec{p} =\{3;-2;1\}$:

3(x-4)-2(y+4)+1(z-0)=0; 3x-2y+z=20. Найдём точку пересечения этой плоскости с прямой содержащей точку B.

Прямая в параметрическом виде: $\begin{Bmatrix}\displaystyle x=-2+3\alpha\\ y=1-2\alpha \quad \\ z=\alpha \qquad \quad \end{matrix} ,\alpha \in \mathbb{R}$

Подставим координаты в уравнение плоскости:

-6+9α-2+4α+α=20 ⇒ α=2. Теперь подставим α. Точка пересечений С(4;-3;2).

Расстояние между нужными прямыми есть ρ(A,C) = $\displaystyle \sqrt{(4-4)^2+(-4+3)^2+(0-2)^2} =\sqrt5$

Ответ: √5.

№4.

Пусть $\vec{n}$ нормальный вектор плоскости 6x-y+3z-41=0, тогда $\vec{n} =\{6;-1;3\}$.

При сдвиге точки P(1;2;-3) на вектор k·$\vec{n}$ должна получиться точка, лежащая на плоскости, то есть удовлетворяющая уравнению. Так и запишем. 6(1+6k)-(2-k)+3(-3+3k)-41=0 ⇒ k=46/47. Пусть проекция точки P на плоскость это $\diplaystyle P'(P_x;P_y;P_z)$.

$\displaystyle P_x =1+\frac{46}{47}\cdot 6=\frac{277}{47} \\\\ P_y =2+\frac{46}{47}\cdot (-1)=\frac{48}{47} \\\\P_z =-3+\frac{46}{47}\cdot 3=\frac{-3}{47}$

Ответ: $\displaystyle \tt \bold P'\bigg(\frac{277}{47} ;\frac{48}{47} ;\frac{-3}{47} \bigg)$.

№5.

Запишем прямые в параметрическом виде.

$\displaystyle \frac{x-7}1= \frac{y-3}{2} =\frac{z-9}{-1}:\; \vec{p_1} =\{1;2;-1\} , A(7;3;9)\\ \begin{Bmatrix}\displaystyle x=7+\alpha\\ y=3+2\alpha \\ z=9-\alpha \quad \end{matrix} ,\alpha \in \mathbb{R}$

$\displaystyle \frac{x-3}{-7}= \frac{y-1}{2} =\frac{z-1}{3}:\; \vec{p_2} =\{-7;2;3\} , B(3;1;1)\\ \begin{Bmatrix}\displaystyle x=3-7\beta\\ y=1+2\beta \\ z=1+3\beta \end{matrix} ,\beta \in \mathbb{R}$

Найдём нормальный вектор $\displaystyle \vec{n}=\{a;b;c\}$ к плоскости, которая параллельна обоим прямым (вне зависимости от взаимного расположения прямых в пространстве, всегда существую такая плоскость).

$\displaystyle \left \{ {{(\vec{n} \cdot \vec{p_1})=0} \atop {(\vec{n} \cdot \vec{p_2})=0}} \right. \\ \\ \left \{ {{a+2b-c=0} \atop {-7a+2b+3c=0}} \right. \\ \\ \left \{ {{c=2a} \atop {\displaystyle b=\frac{a}2}} \right. \qquad \vec{n}=\{2;1;4\}$

Я хочу, чтобы при сдвиге точки из одной прямой на вектор $\displaystyle k\cdot \vec{n}$ мы получили точку другой прямой. Эти точки будут лежать на общем перпендикуляре. И если найти эти точки, то можно составить уравнение.

$\begin{Bmatrix}\displaystyle 7+\alpha+2k=3-7\beta\\ 3+2\alpha+k=1+2\beta \\ 9-\alpha+4k=1+3\beta \end{matrix} \quad \begin{Bmatrix}\displaystyle 16+6k=4-4\beta \quad \\ 1-3\alpha=1-11\beta \quad \\ 7+\alpha+2k=3-7\beta \end{matrix}$

$\quad \begin{Bmatrix}\displaystyle 2k=-4-\frac43\beta \qquad \qquad \quad \\\\\displaystyle \alpha=\frac{11}3\beta \qquad \qquad \qquad \qquad \\\\ \displaystyle 7+\frac{11}3 \beta-4-\frac43 \beta=3-7\beta \end{matrix}$

$\quad \begin{Bmatrix}\displaystyle \beta =0 \\ \alpha=0 \\ k=-2\end{matrix}$

Получается, что точки A  и B это и есть точки общего перпендикуляра.

$\vec{BA}=\{4;2;8\}$

Ответ: $\displaystyle \tt \frac{x-3}{4} =\frac{y-1}{2} =\frac{z-1}{8}$ .