Question

При каком значении n вектора а(1;2n+1), b(n;6):
A) равны
В) коллинеарный
С) перпендикулярны

Answer 1

А) Два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

➠ В) Вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны:

$\dfrac{1}{n} = \dfrac{2n + 1}{6}$

$n(2n + 1) = 6 \cdot 1$

$2n^{2} + n = 6$

$2n^{2} + n - 6 = 0$

$D = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$

$n_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 7}{4} = \left[\begin{array}{ccc}n_{1} = -2\\n_{2} = 1,5\\\end{array}\right$

➠ Равные длины:

$|\vec {a}| = \sqrt{1^{2}+ (2n + 1)^{2}} = \sqrt{1 + 4n^{2} + 4n + 1} = \sqrt{4n^{2} + 4n + 2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{n^{2} + 6^{2}} = \sqrt{n^{2} + 36}$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| \Rightarrow \sqrt{4n^{2} + 4n + 2} = \sqrt{n^{2} + 36}$

$4n^{2} + 4n + 2 = n^{2} + 36$

$3n^{2} + 4n - 34 = 0$

$D = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-34) = 16 + 408 = 424$

$n_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{424}}{6} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{106}}{6} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{106}}{3} = \left[\begin{array}{ccc}n_{1} =\dfrac{-2 - \sqrt{106}}{3}\\n_{2} = \dfrac{-2 + \sqrt{106}}{3} \\\end{array}\right$

Так как нет таких $n$, при которых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ одновременно коллинеарные и имеют равные длины, то данные вектора не могут быть равными.

С) Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, поскольку $\cos 90^{\circ} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot n + (2n + 1) \cdot 6 = n + 12n + 6 = 13n + 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow 13n + 6= 0$

$13n = -6$

$n = -\dfrac{6}{13}$

Ответ: А) ни при каких $n$ вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не равны; В) при $n =-2$ и $n = 1,5$; С) при $n = -\dfrac{6}{13}$