Question

Найти площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла 73 балла желательно на листе

Answer 1

$x=\sqrt{4-y^2}$  - это правая полуокружность от окружности  $x^2+y^2=4$  с центром в точке (0,0) и R=2 , выразим   $y=\pm \sqrt{4-x^2}$  , причём для 1-ой четверти знак перед корнем (+) , а для 4-ой  четверти  знак (-) .

$x=\frac{y^2}{3}$  - это парабола , ветви которой направлены вправо, вершина в точке (0,0) . Выразим y:   $y^2=3x\; \; \Rightarrow \; \; y=\pm \sqrt{3x}$  , причём знак (+) перед корнем для 1-ой четверти, а знак (-) для 4-ой четверти.

Область симметричная относительно оси ОХ. Поэтому можно подсчитать площадь одной половины, а затем удвоить её.

Найдём точки пересечения окружности и параболы.

$\sqrt{4-y^2}=\frac{y^2}{3}\; \; ,\; \; \; 4-y^2=\frac{y^4}{9}\; \; ,\; \; 36-9y^2=y^4\; \; ,\; \; y^4+9y^2-36=0\; ,\\\\D=81+4\cdot 36=225\; ,\; \; y^2=\frac{-9-15}{2}=-12<0\; \; ne\; podxodit\; ,\\\\y^2=\frac{-9+15}{2}=3\; \; \to \; \; y=\pm \sqrt3\; ,\; \; x=\sqrt{4-3}=1\\\\\\S_1=\iint \limits _{D}\, dx\, dy=\int \limits _0^1\, dx\int\limits_{0}^{\sqrt{3x}}\, dy+\int\limits^2_1\, dx\int\limits^{\sqrt{4-x^2}}_0\, dy=$

$=\int\limits^1_0\Big (y\Big |_0^{\sqrt{3x}}\Big)\, dx+\int \limits _1^2\Big (y\Big |_0^{\sqrt{4-x^2}}\Big)\, dx=\int\limits^1_0\sqrt{3x}\, dx+\int\limits^2_1\sqrt{4-x^2}\, dx\; ;$

$Q=\int \sqrt{4-x^2}\, dx\\\\Q=\int \frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}}\, dx=4\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}-\int \frac{x\, \cdot \, x\, dx}{\sqrt{4-x^2}}=\Big[\; u=x\; ,\; du=dx\; ,\\\\dv=\frac{x\, dx}{\sqrt{4-x^2}}\; ,\; v=-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{4-x^2}=-\sqrt{4-x^2}\; ,\; \int u\, dv=uv-\int v\, du\; \Big]=\\\\=4\cdot arcsin\frac{x}{2}-\Big(-x\sqrt{4-x^2}+\int \sqrt{4-x^2}\, dx\Big)=\\\\=4\, arcsin\frac{x}{2}+x\sqrt{4-x^2}-Q\; \Rightarrow \; \; Q=4\, arcsin\frac{x}{2}+x\sqrt{4-x^2}-Q\; ,$

$2Q=4\, arcsin\frac{x}{2}+x\sqrt{4-x^2}\; \; ,\; \; Q=2\, arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\\\\\int \sqrt{4-x^2}\, dx=2\, arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}$

$S_1=\sqrt3\int \limits _0^1\sqrt{x}\, dx+\Big(2\, arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\Big)\Big|_1^2=\\\\=\sqrt3\cdot \frac{2\, x^{3/2}}{3}\Big|_0^1+2\cdot (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\cdot (2\cdot 0-\sqrt3)=\frac{2\sqrt3}{3}+\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt3}{2}=\\\\=\frac{2\, (\pi +\sqrt3)}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\; .$

$S=2S_1=\frac{4(\pi +\sqrt3)}{3}-\sqrt3$