Question

Исследовать числовые ряды на сходимость

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n}{\sqrt{n^3+1}}\geq \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n}{\sqrt{n^3+n^2}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\sum\limits_{k=2}^\infty\dfrac{1}{\sqrt{k}}$

$\sum\limits_{k=2}^\infty\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ расходится как частный случай обобщенного гармонического ряда с $l=\dfrac{1}{2}\leq 1$. Тогда исходный ряд расходится по признаку сравнения

_____________________________

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{4^{n+2}}{n!}\\ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{4^{n+3}}{(n+1)!}}{\dfrac{4^{n+2}}{n!}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{4}{n+1}=0<1$

Ряд сходится по признаку Д'Аламбера