Question

НАЙТИ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ПОДРОБНО!

Answer 1

Предварительно вспомним некоторые результаты:

$\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 }$ - это первый замечательный предел. Из него следует и еще один: $\boxed{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1 }$. Это легко увидеть, если сделать замену $x:=\sin u$, тогда при $x\to 0$ $u\to 0$ (в силу области определения арксинуса). Побочно нам потребуется формула из тригонометрии: $\boxed{\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}$;

Выражение под пределом можно переписать: $\frac{\arcsin^{2}3x}{\cos3x-\cos x}=\frac{\arcsin 3x\times \arcsin 3x}{-2\sin 2x\times\sin x}$; Теперь домножим на $\frac{2x \times x \times 3x\times 3x}{2x\times x\times 3x\times 3x}$ - это единица, поэтому ничего не изменится. Получим: $\frac{\arcsin 3x\times \arcsin 3x \times 2x\times x}{-2\sin 2x\times\sin x\times 3x\times 3x}\times\frac{3x\times 3x}{2x\times x}$; При $x\to 0$ можно воспользоваться обозначенными выше результатами. Тогда получим $\frac{1}{-2}\times \frac{3x\times 3x}{2x\times x}=-\frac{9}{4}$;

Ответ: $-9/4$