Question

решить систему {cos x cos y = a^2; sin x sin y = 1 } в зависимости от параметра a

Answer 1

Складываем:

сosx·cosy+sinx·siny=a²+1⇒cos(x-y)=a²+1

Вычитаем:

сosx·cosy-sinx·siny=a²-1⇒cos(x+y)=a²-1

Получаем систему двух уравнений:

{cos(x-y)=a²+1

{cos(x+y)=a²-1

Первое уравнение имеет решения при

-1≤a²+1≤1⇒a=0

Второе уравнение имеет решения при

-1≤a²-1≤1⇒0≤a²≤2

Общим значением а, удовлетворяющим и первому и второму уравнению  является a=0

{cos(x-y)=1⇒x-y=2πk, k∈Z

{cosx(x+y)=-1⇒x+y=π+2πn, n∈Z

2x=π+2πm, m∈Z ( m=k+n)

x=(π/2)+πm, m∈Z

y=(π/2)+πp, p∈Z

О т в е т. при а=0

x=(π/2)+πm, m∈Z

y=(π/2)+πp, p∈Z