Question

Пользуясь определением, выведите формулу дифференцирования функции y=корень из 1+х2

Answer 1

$y=\sqrt{1+x^2}$

$y'= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+(x+\Delta x)^2} -\sqrt{1+x^2}}{\Delta x} =$

Из левого слоагаемого в числителе выделим множитель $\sqrt{1+x^2}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{1+x^2}} -\sqrt{1+x^2}}{\Delta x} =$

Т.к. Δx→0, то слагаемым (Δx)² можно принебречь:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\frac{2x\Delta x}{1+x^2}} -\sqrt{1+x^2}}{\Delta x}$

Разложим корень в ряд Тейлора до первого члена по Δx:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}(1+\frac{1}{2}\frac{2x\Delta x}{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}(x\Delta x)}{(1+x^2)\Delta x} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2} }$