Question

4. Исследовать функцию, при помощи производной, простроить график.
y = x4 - 18х2 – 5​

Answer 1

$f(x) = x^4 - 18x^2 - 5 = x^4 - 18x^2 + 81 - 86 = (x^2-9)^2 - 86 = (x^2-9-\sqrt{86})(x^2-9+\sqrt{86}) = (x^2-(9+\sqrt{86}))(x^2-(9-\sqrt{86})) = (x-\sqrt{9+\sqrt{86}})(x+\sqrt{9+\sqrt{86}})(x^2-(9-\sqrt{86}))\\f'(x) = 4x^3 - 36x = 4x(x^2-9) = 4x(x-3)(x+3) => f'(x) = 0 => x_1_2_3 = -3, 0,3\\--------[-3]+++++[0]-------[3]++++++++>f'(x)$

Из приведенного выше исследования выяснено, что корни данного трехчлена:

$x_1 = \sqrt{9+\sqrt{86}}\\x_2=-\sqrt{9+\sqrt{86}}$

Так же с помощью производной найдены экстремумы функции, а именно точка x = -3, x = 3 - локальные точки минимума, x = 0 - локальная точка максимума. На промежутках x = [-3;0] и x = [3; +∞) функция возрастает, и соответственно, на оставшихся - убывает.

Найдем значения функции в данных точках:

$f(3) = 3^4 - 18*3^2 - 5 = 81 - 162 - 5 = -86\\f(0) = 0^4 - 18*0^2 - 5 = -5\\f(-3)=f(3) = -86$

По найденным данным график можно построить с хорошей точностью.