Question

Вычислите, пожалуйста, интегралы

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{dx}{\sqrt{5-x^2}}=arcsin\frac{x}{\sqrt5}+C\; ;\\\\\\2)\; \; \int e^{3x+4}\, dx=\frac{1}{3}e^{3x+4}+C\; ;\\\\\\3)\; \; \int sin^3x\cdot cosx\, dx=\int sin^3x\cdot d(sinx)=\frac{sin^4x}{4}+C\; ;$

$4)\; \; \int x^5\cdot lnx\, dx=\Big [u=lnx,\; du=\frac{dx}{x}\; ,\; dv=x^5\, dx\; ,\; v=\frac{x^6}{6}\; \Big]=\\\\=\frac{x^6}{6}\cdot lnx-\frac{1}{6}\int x^5\, dx=\frac{x^6}{6}\cdot lnx-\frac{1}{6}\cdot \frac{x^6}{6}+C=\frac{x^6}{6}\cdot (lnx-\frac{1}{6})+C\; ;$

$5)\; \; \int (7x-8)\cdot e^{x}\, dx=\Big[\; u=7x-8\; ,\; du=7\, dx\; ,\; dv=e^{x}\, dx\; ,\; v=e^{x}\; \Big]=\\\\=(7x-8)\cdot e^{x}-7\int e^{x}\, dx=(7x-8)\cdot e^{x}-7\, e^{x}+C=e^{x}\cdot (7x-15)+C\; .$