Question

$\frac{6x^5+11x^4-11x-6}{(2x^2-3x+1)^2} \leq 0$

Answer 1

Данное неравенство равносильно системе неравенств

$\displaystyle \left \{ {{6x^5+11x^4-11x-6\leq 0} \atop {2x^2-3x+1\ne 0}} \right. ~~~\Rightarrow~~\left \{ {{6x^5+11x^4-11x-6\leq 0} \atop {x_1\ne \dfrac{1}{2};~~ x_2\ne 1}} \right.$

$6x^5+11x^4-11x-6=0\\ \\ 6(x^5-1)+11x(x^3-1)=0\\ \\ 6(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+11x(x-1)(x^2+x+1)=0\\ \\ (x-1)(6x^4+6x^3+6x^2+6x+6+11x^3+11x^2+11x)=0\\ \\ (x-1)(6x^4+17x^3+17x^2+17x+6)=0\\ \\ x_1=1;\\ \\ 6x^4+17x^3+17x^2+17x+6=0\\ \\ 6(x^4+1)+17x(x^2+1)+17x^2=0\\ \\ 6(x^2+1)^2-12x^2+17x(x^2+1)+17x^2=0\\ \\ 6(x^2+1)^2+17x(x^2+1)+5x^2=0~~~\bigg|:x^2\ne 0\\ \\ 6\cdot \left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)^2+17\cdot \dfrac{x^2+1}{x}+5=0$

Решая как квадратное уравнение относительно $\dfrac{x^2+1}{x}$, получим

$\dfrac{x^2+1}{x}=-\dfrac{5}{2}~~\Rightarrow~~2x^2+5x+2=0~~\Rightarrow~~ x_1=-2;~~ x_2=-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{x^2+1}{x}=-\dfrac{1}{3}~~\Rightarrow~~3x^2+x+3=0~~\Rightarrow~~ \varnothing$

___-__[-2]__+__[-1/2]__-___(1/2)___-__[1]___+__

$x\in \Big(-\infty;-2\Big]\cup\Big[-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\Big)\cup\Big(\dfrac{1}{2};1\Big)$