Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями
y=x²-2x+1 и y=1+x

Answer 1

Сначала найдем точки пересечения кривых y=f(x)=x₂-2x+1 и y=g(x)=x+1:

x²-2x+1=x+1;

x²-3x=0; x(x-3)=0

x₁=3; x₂=0.

Причем f(x)<g(x) при 0<x<3.

Тогда искомая площадь вычисляется по формуле:

$S = \int\limits^b_a {(g(x)-f(x))} \, dx = \int\limits^3_0 {(3x-x^2)} \, dx = (3\frac{x^27(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}) 2}{2}- \frac{x^3}{3}) |\limits^3_0 = 3\frac{3^2}{2} - \frac{3^3}{3}\\ =27(\frac{1}{6}) = \frac{9}{2}$