Question

Решите уравнение:

$4(3x\sqrt{1-x^2}+4x^2-2)=5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )$.

Answer 1

ОДЗ здесь такое: $x\in[-1,\;1]$ ; С учетом области значений можно сделать интересную замену: $\sqrt{1-x}=\sqrt{2}\sin u,\; \sqrt{1+x}=\sqrt{2}\cos u$;

Перепишем: $4(3\cos2u\times\sin2u+4\cos^{2}2u-2)=5\sqrt{2}(\sin u+\cos u)$ (я сразу преобразовывал).

Слева в скобках: $3\cos2u\times\sin2u+2(2\cos^{2}2u-1)=\frac{3}{2}\sin4u+2\cos4u$; Итого:

$6\sin4u+8\cos4u=5\sqrt{2}(\sin u+\cos u)$; Осталось вспомнить формулу дополнительного угла: $10\sin(4u+\arcsin(\frac{8}{10}))=10\sin(u+\frac{\pi}{4})\Leftrightarrow \sin(4u+\arcsin(\frac{8}{10}))=\sin(u+\frac{\pi}{4})$;

Это уравнение уже легко решается:  $u=\frac{\pi}{12}-\frac{\arcsin(8/10)}{3}+\frac{2\pi k}{3},\; k\in\mathbb{Z}$ и

$u=\frac{3\pi}{20}-\frac{\arcsin(8/10)}{5}+\frac{2\pi t}{5},\;t\in \mathbb{Z}$.  С учетом ОДЗ (это $\cos u\geq 0,\; \sin u\geq 0$ ) получаем $u=\frac{3\pi}{20}-\frac{\arcsin(8/10)}{5}+2\pi t,\; t\in\mathbb{Z}$ и $u=\frac{3\pi}{20}-\frac{\arcsin(8/10)}{5}+\frac{2\pi}{5}+ 2\pi t,\; t\in\mathbb{Z}$; Поскольку $x=\cos2u$, то

$x=\cos(\frac{3\pi}{10}-\frac{2\arcsin(8/10)}{5} )$

$x=\cos(\frac{3\pi}{10}-\frac{2\arcsin(8/10)}{5}+\frac{4\pi}{5})$