Question

помогите решить по математике​

Answer 1

$4. \ x^{\log_{2}x} = 4x$

ОДЗ: $x > 0$

Прологарифмируем обе части уравнения с основанием 2:

$\log_{2}x^{\log_{2}x} = \log_{2}4x$

Используя свойство $\log_{a}b^{p} = p\log_{a}b$ и $\log_{a}bc = \log_{a}b + \log_{a}c$, получаем:

$\log_{2}x \log_{2}x = \log_{2}4 + \log_{2}x$

$\log_{2}^{2}x - \log_{2}x - 2 = 0$

Замена: $\log_{2}x = t$

$t^{2} - t - 2 = 0\\t_{1} = -1\\t_{2} = 2$

Обратная замена:

$1) \ \log_{2}x = -1\\x = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$

$2) \ \log_{2}x = 2\\x = 2^{2} = 4$

Ответ: $\dfrac{1}{2}; \ 4$

$5. \ \log_{2}(x + 2) = 4 - x$

Решим уравнение графически.

Рассмотрим две функции:

$y = \log_{2}(x + 2)$ — возрастающая логарифмическая функция

$y = 4 - x$ — линейная функция, график которой — прямая.

Для построения функций возьмем несколько значений аргумента и найдем соответствующие значения функции.

Графики изображены во вложении.

Графики пересекаются в точке $(2; \ 2)$, следовательно, $x = 2$ — единственный корень данного уравнения.

Ответ: 2