Question

Числа x, y, z образуют (в указанном порядке) геометрическую прогрессию; числа x, y+10, z образуют (в указанном порядке) арифметическую прогрессию, а числа x, y+10 и z+80 (в указанном порядке) – также геометрическую прогрессию. Найдите x, y и z.

Answer 1

https://znanija.com/task/34448001

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Числа x, y, z образуют (в указанном порядке) геометрическую прогрессию; числа x, y+10, z образуют (в указанном порядке) арифметическую прогрессию, а числа x, y+10 и z+80 (в указанном порядке) – также геометрическую прогрессию. Найдите x, y и z.

Ответ:    5 ; 15 и 45   или   5/9 ; -25/9 и 125/9 .

Объяснение:       * * *     x ; x*q ,x*q²   ,   x≠0  * * *

y =x*q  ; z =x*q², где q знаменатель геометрической прогрессии

числа x, y+10, z образуют (в указанном порядке) арифметическую прогрессию , значит  y+10 =(x+z)/2⇔ 2(y+10) =x+z ⇔(символ эквив)

2(x*q+10) = x+x*q²⇔ x+x*q²- 2x*q=20⇔  x*(q-1)² =20    (1)

числа  x, y+10 и z+80 (в указанном порядке) – также геометрическую прогрессию,следовательно (y+10)² = x(z+80) ⇔(x*q+10)² = x(xq²+80) ⇔

x²*q²+20x*q+100  = x²q²+80x  ⇔20x*q+100 =80x⇔x*q+5 =4x ⇔

x*(4-q) =  5     (2)  

первое уравнение (1)   разделим на уравнение (2) получаем

x*(q-1)²/ x*(4-q) =20/5 ⇔(q-1)²/ (4-q) =4 ⇔ q²-2q+1 =16 -4q

q²+2q- 1 5 =0   ⇒  q  =3 ;  q  = - 5  

a)   q  =   3  ⇒ x = 5/(4-q) = 5/(4-3) = 5               5 ; 15 ; 45

b)   q  = - 5 ⇒  x = 5/(4-q) = 5/ (4-(5)) =5/9          5/9 ; -25/9 ; 125/9